Cours de Trigonométrie - Mathématiques 1ère
- Un angle est l’écart entre deux demi droites
- Il se mesure en degrés ou radians
- On peut calculer la longueur des côtés d’un triangle rectangle en connaissant un angle grâce aux fonction Sinus et Cosinus
A quoi sert la trigonométrie?
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Cercle trigonométrique, angles et radians
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Cercle trigonométrique
Le cercle trigonométrique est un outil, comme une règle, qui permet de représenter visuellement et de mesurer des notions de trigonométrie comme les angles, les radians et les fonctions Sinus, Cosinus et Tangente.
Le cercle trigonométrique est construit comme un cercle de rayon 1 dont le centre est l’origine du repère orthonormé dans le plan. Ce cercle est orienté dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
Les mathématiciens ont choisi un rayon de 1 pour simplifier les calculs trigonométriques.
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Longueur d’arc dans le cercle trigonométrique
Lorsqu’on place un angle dans le cercle trigonométrique, il coupe le cercle en deux points. La longueur de l’arc de cercle entre ces deux point est proportionnelle à l’angle.
Cette représentation graphique permet de mesurer les angles d’une nouvelle manière: on mesure la longueur de l’arc de cercle au lieu de mesurer l’angle directement.
Pour mesurer un angle en radians, les mathématiciens se sont mis d’accord pour une manière de procéder.
- On prend un angle à mesurer
- On place un cercle de rayon 1
- On place son centre au bout de l’angle
- On mesure l’arc de cercle: c’est me radian de l’angle
Mesure d’angles en radians
On a vu dans le paragraphe précédent que dans le cercle trigonométrique, chaque angle correspond à une longueur d’arc de cercle.
Or, on connait la longueur d’un arc de cercle qui ferait le tour complet du cercle: il s’agit de la circonférence du cercle, qu’on peut calculer avec:
2*Pi*r
Comme le rayon du cercle trigonométrique est de 1, sa circonférence est:
2*Pi*1 = 2Pi
Donc à un tour complet du cercle (360°) correspond la longueur d’arc de 2Pi. Cette équivalence permet d’introduire une nouvelle unité de mesure d’angle: le radian, qui correspond à la longueur de l’arc de cercle associé à l’angle dans le cercle trigonométrique.
Comme 360° est équivalent à 2Pi radians, par proportionnalité, on peut trouver la valeur en radians correspondant à un angle en degrés.
Pourquoi les radians en plus des degrés? Ils permettent de simplifier certains calculs, notamment en physique.
Enroulement de droite dans le cercle trigonométrique et angles orientés
Comme un angle fait au maximum 360°, sa valeur en radians sera au maximum de 2π rad.
Néanmoins, si on considère que la valeur en radians de l’angle est le chemin parcouru le long du cercle, on remarque que si on fait
Comme la mesure en radians d’un angle correspond à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique associée à cet angle, on remarque que si on continue à tourner autour du cercle, on retombe
On peut représenter cette longueur d’une autre manière: un segment partant du bord du cercle et qui s’enroule autour jusqu’à atteindre l’autre extrémité de l’angle.
Angles remarquables et conversion en degrés
On a vu qu’un angle pouvait se mesurer en radians en plus des degrés.
Comme la valeur en radians d’un angle s’exprime comme une fraction de 2π, on peut identifier plusieurs angles dont la valeur en radians est une fraction entière de π.
On appelle ces angles angles remarquables. Ces angles sont à connaître car ils sont souvent utilisés dans les calculs, notamment car ils ont des valeurs de cosinus et sinus précises.
Cosinus et Sinus
Cosinus et Sinus d’un angle
On a vu en troisième que le sinus et le cosinus se calculaient en connaissant la longueur des cotés d’un triangle rectangle.
Si on représente le triangle dans le cercle trigonométrique de rayon 1, alors l’hypoténuse est de longueur 1 (rayon du cercle). La valeur du cosinus devient donc égale à la longueur du coté adjacent, et le sinus devient égal à la longueur du coté opposé.
Comme le cercle trigonométrique est centré sur le repère orthonormé, ces deux longueurs correspondent à l’abscisse et à l’ordonnée du point du cercle trigonométrique associé à l’angle.
On peut donc lire graphiquement la valeur du cosinus et du sinus d’un angle dans le cercle trigonométrique en regardant les coordonnées du point du cercle associé à l’angle.
Grâce au cercle trigonométrique, on n’est plus limité aux triangles rectangles comme avec les formules de troisième, on peut maintenant mesurer le cosinus et sinus de n’importe quel angle.
Cosinus et Sinus des angles associés
Comme la valeur du cosinus et du sinus d’un angle correspond à l’abscisse ou à l’ordonnée du point du cercle associé à l’angle, on remarque qu’à une même abscisse ou ordonnée dans le repère correspond deux points du cercle, donc deux angles. On appelle ces angles: angles associés.
De même
Fonction Cosinus et Sinus
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Conclusion
En Grec, trigononométrie signifie “mesure du triangle”. La trigonométrie est donc une méthode qui permet de mesurer les angles et leur cosinus et sinus de manière visuelle grâce au cercle trigonométrique.
Cet outil permet facilement de passer des angles aux valeurs des sinus et cosinus par lecture des coordonnées dans le repère.